Nature d'un triangle

Exercice 1

Soit  \(\mathrm{ABCDEFGH}\) un cube de côté \(1\) .

Le point \(\text I\) est le milieu du segment \(\mathrm{[BF]}\) .
Le point \(\text J\) est le milieu du segment \(\mathrm{[BC]}\) .
Le point \(\text K\) est le milieu du segment \(\mathrm{[CD]}\) .
L'espace est muni du repère \(\mathrm{\left(A~;\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}\right)}\) .

1. Donner les coordonnées de \(\text A\) , \(\text G\) , \(\text I\) , \(\text J\) et \(\text K\) dans ce repère.

2. Déterminer les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{\text I\text J}\) , \(\overrightarrow{\text J\text K}\) et \(\overrightarrow{\text I\text K}\) .

3. Calculer les distances \(\text I\text J\) , \(\text J\text K\) et \(\text I\text K\) . En déduire la nature du triangle \(\mathrm{IJK}\) .

Exercice 2

L'espace est muni d'un repère orthonormé \(\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\) .

On donne les points \(\text A(5~;~1~;~3)\) , \(\text B(5~;-3~;-1)\) ,  \(\text C(1~;~1~;-1)\) et \(\text D(1~;-3~;~3)\) .
Un tétraèdre est dit régulier lorsque toutes ses faces sont des triangles équilatéraux.
Démontrer que le tétraèdre \(\text A\text B\text C\text D\) est régulier.